Affine and Perspective Transformations

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Dieses Applet demonstriert die verschiedenen Transformationstypen. Anhand eines einfachen Würfels wird das Resultat einer Matrixoperation aufgezeigt; die jeweilige Transformation operiert dabei linksseitig auf das Objekt.
Interaktiv kann die Transformationsmatrix modifiziert werden und das Ergebnis in einer gewünschten Ansicht betrachtet werden. Dabei kann zwischen perspektiver und orthogonaler Sicht gewechselt werden. Diese Einstellungen haben keinen Einfluß auf die eigentliche Transformation.
Zur Komposition mehrerer Transformationen wird ein Matrixstapel verwendet. Dabei wird die aktuelle Matrix jeweils von links auf die bestehende Stapelmatrix aufmultipliziert. Die aktuelle Matrix wirkt demnach zuletzt auf das Objekt. Weiterhin kann die Inverse oder Transponierte der aktuellen Matrix berechnet und ihre Determinante betrachtet werden. Mathematische Ergebnisse werden dadurch visualisiert; beispielsweise haben Drehungen als orientierungstreue orthogonale Matrizen immer die Determinante 1.
Matrix
Typ
  • Die Auswahlbox stellt den Transformationstyp ein.
Eingabe
  • Die Koeffizienten der Matrix werden direkt eingegeben und durch Return bestätigt. Der Schieberegler stellt den Winkel bei Drehungen bzw. eine gleichmäßige Skalierung ein. Es sind nur Werte innerhalb des angegebenen Intervalls mit erlaubt.
Einheit
  • Der Button Einheit stellt auf die Einheitsmatrix zurück.
Transponierte
  • Der Button Transponierte transponiert die aktuelle Matrix. Eine Diagonalmatrix ändert sich dabei nicht.
Inverse
  • Der Button Inverse invertiert die aktuelle Matrix. Bei einer singulären Matrix (Determinante 0) ist dieser Button gesperrt.
Determinante
  • Die Determinante der aktuellen Matrix wird ausgegeben. Orthogonale Transformationen wie Drehungen haben die Determinante 1.
Stapel
Push
  • Der Button Push schiebt die aktuelle Matrix auf den Stapel und ermöglicht eine Komposition von Transformationen.
Ausgangszustand
  • Der Button Original leert den Stapel.
Ansicht
Szene drehen
  • Linke Maustaste gedrückt halten und die Maus bewegen: eine waagrechte Bewegung dreht um die y-Achse und eine senkrechte Bewegung um die x-Achse.
Größe ändern
  • Rechte Maustaste gedrückt halten und Maus aufwärts (verkleinern) oder oder abwärts (vergrößern) ziehen.
Ausgangszustand
  • Der Button Original stellt die ursprüngliche Ansicht wieder her.
Perspektive
  • Der Button Perspektive stellt auf orthographische oder perspektivische Sicht.
1. Schritt: Geeignete Ansicht wählen
Halten Sie innerhalb des Graphikfensters die linke Maustaste gedrückt und bewegen Sie die Maus. Stellen Sie die Ansicht der Szene so ein, daß die y-Achse nach oben und die z-Achse schräg nach hinten rechts zeigt. Mittels des Ansichts-Button Original kann die ursprüngliche Ansicht wieder hergestellt werden.
Halten Sie innerhalb des Graphikfensters die rechte Maustaste gedrückt und bewegen Sie die Maus nach unten. Stellen Sie die Größe der Szene so ein, daß sie das Graphikfenster ausfüllt.
2. Schritt: Translationsmatrix eingeben
Wählen Sie in der Auswahlbox den Transformationstyp Translation aus und geben Sie eine Verschiebung um den Vektor (0,0,-2) ein. Die Koeffizienten der Matrix, die dabei anzupassen sind, sind markiert.
Verändern Sie wiederum mit der linken und rechten Maustaste die Szene, um einen Eindruck über der Transformation zu erhalten.
3. Schritt: Komposition mit einer Drehung
Schieben Sie die aktuelle Matrix mit dem Button Push auf den Stapel. Dadurch wird der aktuelle Zustand gespeichert und es kann eine neue Matrix als Komposition zur alten Transformation eingegeben werden. Wählen Sie als Transformationstyp eine Drehung um die x-Achse und stellen Sie anhand des Schiebereglers den Winkel auf 45 Grad.
4. Schritt: Wirkung des Stapels
Löschen Sie den Stapel mittels des Buttons Original und verändern Sie die Ansicht geeignet. Sie sehen die reine 45-Grad-Drehung um die x-Achse. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der vorigen Komposition aus Translation und Drehung im vierten Scritt.