Lagrange Interpolation

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Dieses Applet demonstriert die Interpolation durch Lagrangekurven. Die zur Kurve gehörigen Basisfunktionen werden dargestellt. Der Knotenvektor wird angezeigt und kann sowohl in seiner Darstellung, als auch in der Darstellung der Basisfunktionen manipuliert werden. Außerdem stehen als Voreinstellungen die uniforme, die chordale und die zentripedale Parametrisierung zur Verfügung.
Das Kontrollpolygon
Neue Interpolationspunkte
  • Mit der linken Maustaste bei Anwahl des Modus neue Punkte können neue Interpolationspunkte eingegeben werden. Dabei wird der neue Knotenpunkt der eingestellten Parametrisierung entsprechend berechnet.
Punkte verschieben
  • Mit der rechten Maustaste oder bei Anwahl des Modus verschieben mit der linken Maustaste können die Interpolationspunkte verschoben werden. Der Knotenvektor wird dabei entsprechend der eingestellten Parametrisierung angepaßt.
Punkte entfernen
  • Mit der mittleren Maustaste oder bei Anwahl des Modus entfernen mit der rechten Maustaste könnnen Interpolationspunkte wieder entfernt werden. Dabei wird auch hier der Knotenvektor der eingestellten Parametrisierung entsprechend neu berechnet.
Neu
  • Dieser Button entfernt alle Punkte und stellt den Eingabemodus auf neue Punkte.
Darstellung
  • Hier kann ausgewählt werden, ob die Kurve mit ihrem Kontrollpolygon angezeigt wird (Voreinstellung), oder nur die Kurve allein.
Die Parametrisierung
Parametrisierung
  • Über dieses Menü können verschiedene Parametrisierungen eingestellt werden. Es stehen die uniforme, die chordale und die zentripedale Parametrisierung zur Verfügung. Außerdem gibt es eine benutzerdefinierte Parametrisierung, bei der der Benutzer die Knotenwerte frei eingeben kann.
Der Knotenvektor
  • Hier kann der Benutzer Knotenwerte frei eingeben. Dabei wird die Parametrisierung automatisch auf benutzerdefiniert gestellt.
Die Basisfunktionen
  • In diesem Bereich werden die zur aktuellen Kurve gehörigen Basisfunktionen dargestellt. Durch verschieben der roten Kästchen mit der Maus können die entsprechenden Knotenwerte verändert werden. Auch hierbei wird die Parametrisierung automatisch auf benutzerdefiniert gestellt.
1. Schritt: Die Kurve
Geben Sie mit der linken Maustaste eine Lagrangekurve ein. Achten Sie darauf, daß die Interpolationspunkte möglichst unterschiedliche Abstände voneinander haben, wie z.B. im nebenstehenden Bild.
2. Schritt: Die unterschiedlichen Parametrisierungen
Stellen Sie nun über den Auswahlpunkt Darstellung verschiedene Parametrisierungen ein und beobachten Sie das Verhalten der Kurve. Im Bild nebenan sehen Sie z.B. die obige Kurve mit chordaler Parametrisierung.
Sie können die Parametrisierung auch direkt verändern, indem Sie in dem entsprechenden Panel neue Werte eingeben, oder indem Sie in der Darstellung der Basisfunktionen (siehe unten) die Knotenpunkte mit der Maus verschieben. Das nebenstehende Bild verwendet z.B. die Parametrisierung 0, 1, 2, 4.
3. Schritt: Die Basisfunktionen
Die der Lagrangekurve zugrunde liegenden Basisfunktionen werden hier dargestellt. Wie schon erwähnt kann hier auch die Parametrisierung durch anklicken und verschieben der Knotenpunkte verändert werden. Beobachten Sie das Verhalten der Basisfunktionen bei unterschiedlichen Parametrisierungen.
4. Schritt: Verhalten bei hoher Gradzahl
Konstruieren Sie eine Kurve von höherem Grad und beobachten Sie, wie gut (bzw. wie schlecht) sie noch dem Verlauf des Kontrollpolygons folgt.