Fourier-Analyse und Abtasttheorem

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Das hier vorgestellte Applet erlaubt neben der Berechnung der Fouriertransformation verschiedener Funktionen auch die Anwendung unterschiedlicher Abtaststrategien mit anschließender Rekonstruktion.
Das Applet besteht aus drei Blöcken mit insgesamt sieben Fensterzeilen:
  • Testfunktion, Filterfunktion und gefilterte Testfunktion (Festerzeile 1-3)
  • Abtastfunktion und abgetastete Testfunktion (Fensterzeile 4-5)
  • Rekonstruktionsfilter und rekonstruierte Funktion (Fensterzeile 6-7)
Funktion
Allgemeines
  • Die Fenster auf der linken Seite enthalten die Funktionen im Ortsraum, die Fenster auf der rechten Seite ihre Fourier-Transformierte im Frequenzraum.
Berechnung der Fouriertransformation
  • Die Berechnung der Fourier-, oder inversen Fouriertransformation erfolgt jeweils nach dem Drücken des Buttons zwischen den beiden Fenstern.
Komplexwertige Funktionen
  • Da die Fouriertransformierte in der Regel komplexe Werte enthält kann im rechten Fenster durch einen Button rechts oben, in Fällen in denen es Sinn macht, jeweils zwischen der Darstellung von Realteil real, Imaginärteil Imag und Absolutbetrag abs umgeschaltet werden.
Funktion auswählen
  • Mit der linken Maustaste können in den linken Fenster links oben und in den rechten Fenstern rechts oben Testfunktion aus einem Menu ausgewählt werden. Auch benutzerdefinierte Testfunktionen sind erlaubt. Dazu wird als Funktion benutzer-def. gewählt und danach die Funktion durch Drücken der linken Maustaste ins Fenster gezeichnet. Achtung: Die Darstellung der Funktion erfolgt erst nach dem Zeichnen.
Skalierung der Funktionen
  • Alle vordefinierten Funktionen lassen sich mittels einem Schieberegler über den beiden Fenstern im Orts- bzw. Frequenzbereich skalieren.
1. Schritt: Auswahl einer Testfunktion
Wählen Sie in der ersten Fensterzeile links oben eine Testfunktion f aus. Berechnen Sie die Fouriertransformierte F von f durch Drücken des Pfeil-Buttons zwischen den Fenstern.
2. Schritt: Filterung der Testfunktion
Filtern Sie die Testfunktion f, z.B. durch die Verwendung eines Tiefpasses, d.h. der Multiplikation mit einer Rechteckfunktion G im Orsfrequenzraum.
Veränderen Sie den Tiefpaß durch Skalierung und beobachten Sie in der dritten Fensterzeile die Anwendung des Filters auf die Testfunktion (f*g). Abschneiden der hohen Frequenzen führt zu einer Glättung der Testfunktion. Verwenden Sie auch andere Filterfunktionen G.
3. Schritt: Abtastung der gefilterten Testfunktion
Wählen Sie in der vierten Fensterzeile im linken Fenster einen Kamm als Abtastfunktion h und berechnen Sie dessen Fouriertransformiete H durch Drücken des Pfeil-Buttons. Nach der Berechnung von H wird automatisch in der fünften Zeile die mit h abgetastete Funktion (f*g)h bzw. ihre Fouriertransformierte (FG)*H dargestellt. Tasten Sie die Funktion mit unterschiedlichen Abtastraten ab.
Beobachten Sie in der fünften Fensterzeile die Überlappungen der Fourierspektren der ursprünglichen Testfunktion in der Fouriertransformierten der abgetasteten Funktion. Die gewählte Testfunktion ist grün dargestellt.
4. Schritt: Rekonstruktion der abgetasteten Funktion
Um die ursprüngliche Funktion aus der abgetasteten wieder zu rekonstruieren, wird mittels einem Tiefpass das Fourierspektrum der ursprünglichen Funktion aus dem Spektrum der abgetasteten Funktion herausgefiltert. Skalieren Sie dazu in Fensterzeile sechs eine Tiefpassfunktion geeignet.
Die rekonstruierte Funktion und ihre Fouriertransformierte wird in der siebten Zeile dargestellt. Die Amplitude der rekonstruierten Funktion muß durch Skalierung der ursprünglichen Funktion angepaßt werden.