B-Spline-Kurven

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Im folgenden wird ein BSpline mit den zugehörigen Basisfunktionen dargestellt. Der Knotenvektor kann beliebig gewählt werden.

Der Algorithmus von de Boor wird visualisiert und kann vergrößert dargestellt werden.

Kontrollpolygon
Neue Kontrollpunkte
  • Mit der linken Maustaste oder durch Anwahl des Modus neue Punkte können neue Kontrollpunkte eingegeben werden. Der neue Knotenvektor wird dabei mit normierten Einheitswerten gefüllt und interpoliert den Start- und Endpunkt des Polygons.
Punkte verschieben
  • Mit der rechten Maustaste oder durch Anwahl des entsprechenden Modus können Kontrollpunkte verschoben werden.
Punkte einfügen
  • Mit der linken Maustaste und gedrückter Control-Taste oder durch Anwahl des entsprechenden Modus können Kontrollpunkte eingefügt werden. Der Knotenvektor wird neu initialisisiert.
Punkte entfernen
  • Mit der mittleren Maustaste oder durch Anwahl des entsprechenden Modus können Kontrollpunkte wieder entfernt werden. Sind keine Punkte mehr vorhanden, wird der Modus neue Punkte eingestellt. Der Knotenvektor wird neu initialisisiert.
Punkte gewichten
  • Mit der linken Maustaste und gedrückter Shift-Taste oder durch Anwahl des entsprechenden Modus können Kontrollpunkte gewichtet werden. Dazu wird die Maus nach oben und unten gezogen.
Original
  • Dieser Button entfernt alle Punkte und stellt den Eingabemodus auf neue Punkte.
Darstellung
  • Die Ausgabe des Polygons kann mithilfe der Darstellungsbox unterbunden werden.
BSpline
Auflösung
  • Die Zahl der Kurvenpunkte kann mit der Scrollbar eingestellt werden.
Grad
  • Die Kurvengrad kann durch die Auswahlbox eingestellt werden. Sind nicht genügend Kontrollpunkte vorhanden, wird die Ausgabe unterbunden.
Knotenvektor
  • Der Knotenvektor kann über die Tastatur eingegeben werden. Zusätzlich kann ein Knoten innerhalb des Basisfunktionen-Fensters direkt mit der Maus verschoben werden. Wird ein Knoten aus dem Fenster hinausgeschoben, so vergrößert sich dadurch der Parameterbereich. Mehrfachknoten werden gestapelt dargestellt.

  • Der Button Original-Knoten stellt auf den initialen Vektor zurück.
Knoten einfügen
  • Ein zusätzlicher Knoten kann über das Textfeld eingegeben werden. Bei Return oder dem entsprechenden Button wird die Eingabe in den Knotenvektor eingetragen. Dabei werden die gültigen Grenzen beachtet.
Konstruktion
  • Der Algorithmus von de Boor kann mithilfe der Darstellungsbox visualisiert werden. Der Parameter kann direkt eingegeben oder durch die Scrollbar auf seinem Parameterbereich verschoben werden.
Ansicht
Modi
  • Der Editiermodus kann durch Anklicken der Checkbox auf einen weiteren Modus gestellt werden, der es erlaubt, die Kurve zu bewegen, drehen oder zoomen. Drücken Sie dazu die linke, mittlere oder rechte Maustaste und bewegen Sie die Maus.

  • Der Anfaßpunkt legt die Bewegung fest; so dreht sich das Objekt um diesen Punkt oder wird dieser Ausschnitt entsprechend vergrößert (Maus abwärts ziehen) und verkleinert (aufwärts).
1. Schritt: Kontrollpolygon
Geben Sie mit der linken Maustaste ein geeignetes Kontrollpolygon ein und betrachten Sie den entstehende BSpline vom Grad 2. Sie bemerken, wie die Kurve die Polygonsegmente jeweils halbieren.

Modifizieren Sie wie bereits im Bezier-Applet die gesamte Kurve.

2. Schritt: Basisfunktionen
Betrachten Sie die Basisfunktionen und ihr Verhalten bei steigender Punktezahl.
3. Schritt: Der Kurvengrad
Erhöhen Sie den Grad der Kurve von 2 auf 3 und anschließend auf 4. Betrachten Sie die resultierende Kurve und die Größe des Knotenvektors.
4. Schritt: Der Algorithmus von de Boor
Aktivieren Sie die Darstellung der Konstruktion und variieren Sie danach den Parameter des konstruierten Kurvenpunktes. Betrachten Sie die lokale Wirkung der einzelnen Kontrollpunkte und betrachten Sie, welche Kontrollpunkte den Kurvenpunkt bestimmen.

Versuchen Sie umgekehrt festzustellen, welche Kontrollpunkte auf welchen Kurvenbereich Einfluß haben.

Stellen Sie den Editiermodus durch Anklicken der Checkbox um und untersuchen Sie das Objekt. Die linke Maustaste verschiebt die Kurve, die mittlere dreht sie und die rechte vergrößert den angeklickten Ausschnitt.

Durch erneute Anwahl der Checkbox gelangen Sie wieder in den Ausgangszustand und können die Kurve weiter editieren.

5. Schritt: Die Gewichtung
Verändern Sie die Gewichte der einzelnen Punkte durch Anwahl des entsprechenden Editiermodus oder gleichzeitigem Drücken der linken Maustaste und der Shift-Taste. Nun halten Sie die Tasten gepresst und ziehen die Maus nach oben oder unten.
6. Schritt: Der Knotenvektor
Modifizieren Sie den Knotenvektor und betrachten Sie die resultierende Kurve. Die Knoten werden im Fenster Basisfunktionen dargestellt und können dort direkt neu gesetzt werden. Der entsprechende Knoten wird rot markiert.
Setzen Sie einen Mehrfachknoten durch Wiederholen desselben Knotenwertes. Der Knotengrad gibt die Zahl der Wiederholungen an, die Sie benötigen, um die Kurve durch einen Kontrollpunkt zu lenken.
Einen ähnlichen Effekt erreichen Sie, indem Sie mehrere aufeinanderfolgende Kontrollpunkte an derselben Stelle plazieren. Gibt es Unterschiede?