Bezier-Flächen über Dreiecken

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Im folgenden werden Bezier-Flächen über Dreiecken vorgestellt. Das Dreiecksnetz kann frei editiert und seine Auflösung modifiziert werden.

Die im Algorithmus benötigten baryzentrischen Koordinaten werden anhand eines Dreiecks detailliert dargestellt.

Baryzentrische Koordinaten
Dreieckspunkte
  • Die Lage der Dreieckspunkte R, S und T kann direkt mit der Maus eingegeben werden.
Vierter Punkt
  • Die baryzentrischen Koordinaten des vierten Punktes U zu den Dreieckspunkten R, S und T werden in den Textfeldern angegeben. Die Werte lassen sich verändern, wobei darauf zu achten ist, daß sie in der Summe 1 geben.

  • Zusätzlich läßt sich der Punkt U direkt mit der Maus verschieben.
Ausgangsparameter
  • Der Button Ausgangsparameter stellt auf die initialen Werte zurück.
Bezierfläche
Dreiecksnetz
  • Die Kontrollpunkte des Dreiecksnetzes können direkt mit der Maus verschoben werden.
Grad
  • Der Grad der Bezierfläche läßt sich über die Auswahlbox einstellen.
Auflösung
  • Die Auflösung der resultierenden Bezierfläche kann mithilfe des Schiebereglers festgelegt werden.
Ausgangsposition
  • Die ursprüngliche Lage des Kontrollnetzes kann mit dem Button Ausgangsposition wieder hergestellt werden.
Editieren
  • Mit der Checkbox Editieren kann in einen zweiten Eingabemodus gewechselt werden, in dem mit der linken Maustaste die Szene verschoben, mit der mittleren gedreht und mit der rechten Maustaste gezoomt werden kann. Dadurch lassen sich einzelne Bereiche genauer untersuchen.

  • Nach der nochmaligen Anwahl wird die eigentliche Lage wieder hergestellt.
Algorithmus
  • Die Konstruktion eines einzelnen Flächenpunktes kann nach Betätigen der Checkbox visualieren betrachtet werden.
1. Schritt: Baryzentrische Koordinaten
Greifen Sie mit der Maus einen der Dreieckpunkte R, S oder T und verschieben Sie ihn. In den oberen Textfeldern werden die baryzentrischen Koordinaten von U bezüglich des Dreiecks dargestellt. Wie hängen die Werte mit den farbigen Teilflächen des Dreieckes zusammen?
Fassen Sie nun U selbst an und verschieben Sie ihn innerhalb des Dreiecks. Falls Sie nach außen kommen, werden bestimmte Anteile negativ. Betrachten Sie alle sieben möglichen Variationen der Vorzeichen und ihre entsprechenden Teilgebiete.

Sie können die Werte auch mit der Tastatur eingeben; allerdings sollten Sie darauf achten, daß sie in der Summe immer 1 ergeben (geben Sie versuchsweise ungültige Werte ein und betrachten Sie, wie einzelne Dreieckspunkte dadurch übergewichtet werden).

2. Schritt: Bezierfläche über Dreiecken
Betrachten Sie nun das Kontrollnetz, über dem die Bezierfläche entstehen soll. Mit gedrückter Maustaste können Sie einzelne Punkte modifizieren.
Stellen Sie fest, welche Auswirkung das Netz auf die Bezierfläche hat. Falls das Netz störend wirkt, können Sie es mit der entsprechenden Checkbox auch abstellen.

Mithilfe des Buttons Ausgangsposition können Sie jederzeit wieder die Grundeinstellung anwählen.

Die Auswahlbox läßt einen anderen Grad wählen, wodurch Sie mehr Kontrollpunkte und damit mehr Freiheitsgrade erhalten. Wird die resultierende Fläche zu kantig, können Sie dem entgegenwirken, indem Sie die Auflösung, also die Zahl der Zwischenpunkte, erhöhen.
Stellen Sie nun einen geeigneten Punkt U innerhalb des Dreiecks R, S und T ein und aktivieren Sie die Checkbox visualisieren. Dadurch wird die Konstruktion eines einzelnen Flächenpunktes dargestellt.

Verändern Sie die baryzentrischen Koordinaten durch Verschieben von U, R, S oder T bzw. durch Eingabe der Zahlenwerte über die Tastatur und vergleichen Sie die Lage des konstruierten Punktes.

Sie können den zweiten Editiermodus verwenden, um Teilbereiche genauer zu untersuchen. Mit der rechten Maustaste können Sie den Ausschnitt vergrößern, mit der linken bewegen. Modifizieren Sie weiterhin das Kontollnetz und den Grad der Bezierfläche und versuchen Sie festzustellen, wie der Algorithmus funktioniert.